请阅读下列材料,并完成相应的任务.
勾股定理的证明
$2000$多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣,不但因为这个定理重要,还因为这个定理贴近人们的生活实际,以致于古往今来,下至平民百姓,上至帝王总统,都愿意探讨研究它的证明,新的证法不断出现.其中,美国第$20$任总统詹姆斯$\cdot$加菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,他将两个完全相同的直角三角形拼成一个梯形,巧妙地用面积法给出了勾股定理的证明过程:
如图:
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利用整体法,梯形的面积为$S=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=ab+\frac{1}{2}(a^2+b^2)$；
利用分割法,梯形的面积为$S=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c⋅c+\frac{1}{2}ab=ab+\frac{1}{2}c^2$；
$\ldots \ldots$
$(1)$按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分.
$(2)$如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A=60^{\circ}$,$\angle ACB=75^{\circ}$,$CD\bot AB$,$AC=4$,求$BC$的长.