在海洋上有一近似于四边形的岛屿,其平面如图甲,小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形$ABCD),AC$是四边形岛屿上的一条小溪流,其中$\angle B=90^{\circ}$,$AB=BC=15$千米,$CD=3\sqrt{2}$千米,$AD=12\sqrt{3}$千米.
$(1)$求小溪流$AC$的长.
$(2)$求四边形$ABCD$的面积.(结果保留根号）