学习"一次函数"时,我们从"数"和"形"两方面研究一次函数的性质,并积累了一些经验和方法.小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数$y=|x-1|-3$的图象与性质进行探究,下面是小聪同学的探究过程,请你补充完整.
$(1)$列表:

$x$	$\ldots$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$\ldots$
$y$	$\ldots$	$0$	$-1$	$-2$	$a$	$-2$	$b$	$0$	$\ldots$

则$a=$______,$b=\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$描点并画出该函数的图象.
$(3)$①判断:函数$y=|x-1|-3$的图象______$(填"是"或"不是")$轴对称图形；
②观察函数图象,当$-3\leqslant y\leqslant -1$时,$x$的取值范围是______；
③观察函数图象,试判断函数$y=|x-1|-3$是否存在最小值?若存在,直接写出最小值.