【数学中的活动设计】如图①,方格纸中每个小正方形的边长均为$1$.正方形$ABCD$的顶点都在格点上.

$(1)$正方形$ABCD$的面积是______,正方形$ABCD$的边长是______；
$(2)$正方形$ABCD$的边长是______数（填选"有理"或者"无理"）；
$(3)$如果正方形$ABCD$的边长在有理数$a$和$b$之间,那么$a+b$的平方根是______；
$(4)$在图②中设计一个与图①面积不相等的正方形,要求边长为无理数,并直接写出你设计的正方形的边长.