综合与实践
小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后,对其作了进一步的探究:在一个支架的横杆点$O$处用一根细绳悬挂一个小球$A$,小球$A$可以自由摆动,如图①,$OA$表示小球静止时的位置,当小明用发声物体靠近小球时,小球从$OA$摆到$OB$位置,此时过点$B$作$BD\bot OA$于点$D$,当小球摆到$OC$位置时,$OB$与$OC$恰好垂直（点$A$,$B$,$O$,$C$在同一平面上）,过点$C$作$CE\bot OA$于点$E$.

$(1)$【初步探究】如图①,求证:$DE+BD=CE$；
$(2)$【变式探究】如图②,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,直线$l$经过点$A$,$BD\bot$直线$l$,$CE\bot$直线$l$,垂足分别为$D$,$E$,则$DE$,$BD$,$CE$之间的数量关系为______；
$(3)$【类比拓展】如图③,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,直线$MN$经过点$A$,$E$,$D$,且$\angle BDM=\angle BAC=\angle DEC$,请判断$DE$,$BD$,$CE$之间的数量关系,并说明理由.