如图,在正方形$ABCD$中,点$E$在边$AB$上（点$E$与点$A$、$B$不重合）,过点$E$作$FG\bot DE$,$FG$与边$BC$相交于点$F$,与边$DA$的延长线相交于点$G$.
$(1)$由几个不同的位置,分别测量$BF$、$AG$、$AE$的长,从中你能发现$BF$、$AG$、$AE$的数量之间具有怎样的关系?并证明你所得到的结论；
$(2)$连接$DF$,如果正方形的边长为$2$,设$AE=x$,$\triangle DFG$的面积为$y$,求$y$与$x$之间的函数解析式,并写出函数的定义域；
$(3)$如果正方形的边长为$2$,$FG$的长为$\frac{5}{2}$,求点$C$到直线$DE$的距离.