我们不妨约定:若一个关于$x$的一元一次方程能写成$ax+b=c$的形式,其中$a$,$b$,$c$为常数并且能构成直角三角形的三边,则称此方程为"一元勾股方程".满足条件的直角三角形的面积称为此方程对应的"股雅值".如:方程$3x=1$,可写成$3x+4=5$,$3^{2}+4^{2}=5^{2}$,则$3$,$4$,$5$能构成直角三角形的三边,所以$3x=1$是一元勾股方程.此时对应的"股雅值"为$\frac{1}{2}\times 3\times 4=6$.
$(1)$请说明:$5x=1$是一元勾股方程；
$(2)$若方程$8x+b=c\left(c \gt 8\right)$为一元勾股方程,该方程的解为$x=\frac{1}{4}$,求其对应的"股雅值"；
$(3)$关于$x$的方程$\sqrt{m}x+p=q(\sqrt{m}＞q＞p$）为一元勾股方程,其对应的"股雅值"为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,关于$y$的方程$\frac{{y-m}}{{y-1}}+\frac{2}{y}=1$无解,求原一元勾股方程的解.