在$\triangle ABC$中,$\angle BAC \gt \angle ABC$,三个内角的平分线交于点$O$.
$(1)$填空:如图$1$,若$\angle BCA=80^{\circ}$,则$\angle BOA$的大小为______度；
$(2)$如图$1$,过点О作$OD\bot OC$,交$AC$于点$D$.试说明:$\angle ADO=\angle AOB$；
$(3)$如图$2$,$CO$的延长线交$AB$于点$E$.点$M$是$AB$边上的一动点（不与点$E$重合）,过点$M$作$MN\bot CE$于点$N$,请探索$\angle AMN$、$\angle ABC$、$\angle BAC$三者之间的数量关系.