用$1$张边长为$a$的正方形纸片,$1$张边长为$b$的正方形纸片,$2$张长和宽分别为$a$,$b$的长方形纸片拼成如图$1$所示的大正方形.

$(1)$观察图$1$,试用两种不同的方法表示图$1$中两个阴影图形面积的和（用含$a$,$b$的代数式表示).
代数式$1:$______；
代数式$2:$______；
$(2)$从（1）中你能发现什么结论?请用等式表示出来；
$(3)$利用（2）中得出的结论解决下面的问题:
①若$a+b=5$,$a^{2}+b^{2}=13$,求$ab$的值；
②如图$2$,点$C$是线段$AB$上的一点,以$AC$,$BC$为边向两边作正方形$ACDE$与正方形$CFGB$,若$AB=7$,两正方形的面积和为$S_{1}+S_{2}=25$.求图$2$中阴影部分的面积.