在等腰直角$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,点$D$在边$BC$上,过点$B$作射线$AD$的垂线,垂足为点$E$.
$(1)$如图$1$,过点$C$作射线$AD$的垂线,垂足为点$F$,求证:$\triangle ABE$≌$\triangle CAF$；
$(2)$在射线$EB$上取点$G$,使$EG=AE$,连接$AG$,$CG$,$CG$与$AD$交于点$H$.
①如图$2$,若$\angle AGC=90^{\circ}$,$AE=4$,求线段$BG$的长；
②若$\frac{BG}{AH}=\frac{3}{5}$,求$\frac{EG}{BG}$的值.