如果一个不等式（组）的解集中包含一个方程（组）的解,那么就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的"船山范围",例如:不等式$x-1 \gt 0$的解集是$x \gt 1$,它包含了方程$2x-1=3$的解,因此$x \gt 1$是$2x-1=3$的"船山范围".
$(1)$下列不等式______$(填序号)$的解集是方程$3x-2=4$的"船山范围":
①$2x-3 \gt 0$；②$x+1 \lt -3$；③$\frac{3x-1}{2}＜1$.
$(2)$若不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x-2＜1\\-3+x＞-2x-1\end{array}\right.$的解集是方程$\frac{x-3}{2}-1=\frac{a+2}{3}$的"船山范围",且方程$\frac{x-3}{2}-1=\frac{a+2}{3}$的解为整数,求$a$的值.
$(3)$已知$\left\{\begin{array}{l}x=m\\ y=n\end{array}\right.$是方程$2x+y=3$的解,不等式组$\left\{\begin{array}{c}3x+1≥7\\ y-1≤2\end{array}\right.$的解集是方程$2x+y=3$的"船山范围",求$m-n$的最小值.