如图,正方形$ABCD$的边长为$4$,点$E$,$F$分别在边$DC$,$BC$上,且$BF=CE$,$AE$平分$\angle CAD$,连接$DF$,分别交$AE$,$AC$于点$G$,$M.P$是线段$AG$上的一个动点,过点$P$作$PN\bot AC$,垂足为$N$,连接$PM$.有下列四个结论:
①$AE$垂直平分$DM$；
②$PM+PN$的最小值为$3\sqrt{2}$；
③$CF^{2}=GE\cdot AE$；
④$S_{\triangle ADM}=6\sqrt{2}$.
其中正确的是（ ）