【阅读】
如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AB=8$,$AC=6$,$AD$是中线,求$AD$的取值范围.小明同学的做法是:延长$AD$到$E$,使$DE=AD$,连接$BE$,证明$\triangle BDE$≌$\triangle CDA$,得到$BE=AC$,在$\triangle ABE$中,$AB-BE \lt AE \lt AB+BE$,即$8-6 \lt 2AD \lt 8+6$,所以$1 \lt AD \lt 7$；
【理解】
如图$2$,$AD$是$\triangle ABC$的中线,在$AD$上取一点$E$,连接$BE$,使得$BE=AC$,延长$BE$交$AC$于点$F$.求证:$AF=EF$；
【运用】
如图$3$,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$D$为$BC$的中点,$\angle EDF=90^{\circ}$,求证:$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}$.