综合与实践
问题情境
在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$AC=BC$,$CD\bot AB$于点$D$,点$E$是射线$AB$上一点,连接$CE$,过点$B$作$BF\bot CE$于点$F$,且交直线$CD$于点$G$.

$(1)$如图$1$,当点$E$在线段$AD$上时,求证:$CG=AE$.
自主探究
$(2)$如图$2$,当点$E$在线段$BD$上时,其它条件不变,请猜想$CG$与$AE$之间的数量关系,并说明理由.
拓展延伸
$(3)$如图$3$,当点$E$在线段$AB$的延长线上时,其它条件不变,请直接写出$CG$与$AE$之间的数量关系.