如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$AB=BC$,直线$MN$过点$A$,$45^{\circ} \lt \angle MAB \lt 90^{\circ}$.过点$B$作$BD\bot MN$于$D$.在$DA$的延长线上取点$E$,使得$DE=BD$,连接$BE$,$CE$.
$(1)$依题意用没有刻度的直尺和圆规补全图形（要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）；
$(2)$用等式表示$AD$,$DE$,$CE$之间的数量关系,并证明（请补全下方思路).
思路:①在$AD$的延长线上取点$F$,使得$DF=AD$,连接$BF$.
②由$BD$垂直平分$AF$,依据线段的垂直平分线的性质可得______,结合已知$AB=BC$可得$BC=BF$；根据等腰三角形的"三线合一"可得$\angle ABD=\angle FBD$；
③设$\angle ABE=\alpha$,可以用含$\alpha$的代数式表示出$\angle EBC=$______,$\angle ABD=\angle FBD=$______,从而证明出$\angle EBC=\angle EBF$；
④于是可证$\triangle EBC$≌$\triangle EBF\left(\_\_\_\_\_\_\right),$从而得到$EC=EF=$______(用含$AD$,$DE$的代数式表示).