我们约定:若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的"关联方程",例如$1$:方程$x-2=2$的解为$x=4$,而不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-1＞2\\ x-2＜3\end{array}\right.$的解集为$3 \lt x \lt 5$,不难发现$x=4$在$3 \lt x \lt 5$的范围内,所以方程$x-2=2$是不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-1＞2\\ x-2＜3\end{array}\right.$的"关联方程".
$(1)$在一元一次方程①$6x-7=4x-5$；②$2x+5=3\left(x-1\right)$；③$\frac{x-3}{-5}=\frac{3x+4}{15}$中,是不等式组$\left\{\begin{array}{l}5x+2＞3(x-1)\;\\ \frac{1}{2}x-1＜7-\frac{3}{2}x\end{array}\right.$的"关联方程"是______$;(填序号)$
$(2)$若关于$x$的方程$\frac{x-1}{2}-k=0$是不等式组$\left\{\begin{array}{l}5x-3(x-2)＞1\\ \frac{x+1}{6}＞\frac{2x-5}{4}+1\end{array}\right.$的"关联方程",求$k$的取值范围；
$(3)m$,$n$,$p$均为实数,关于$x$的方程$\frac{x-5}{6}=\frac{m}{3}-1$是关于$x$的不等式组$\left\{\begin{array}{l}2(x+1)＞m-1\\ \frac{x-1}{2}＞\frac{2x+1}{3}-2\end{array}\right.$的"关联方程",且此时该不等式组有$7$个整数解,若$M=2m+3n-p$,$3m-n+p=4$,$m+n+p=6$,求$M$的取值范围.