阅读下列材料:
材料一:最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个.我们将两个整数$a$、$b$的最大公约数表示为$\left(a,b\right)$,如$\left(12,18\right)=6$,$\left(7,9\right)=1$.
材料二:求$7x+3y=11$的一组整数解,主要分为三个步骤:
第一步,用$x$表示$y$,得$y=\frac{11-7x}{3}$；
第二步,找一个整数$x$,使得$11-7x$是$3$的倍数,为更容易找到这样的$x$,将$11-7x$变形为$12-9x+2x-1=3\left(4-3x\right)+2x-1$,即只需$2x-1$是$3$的倍数即可,为此可取$x=2$；
第三步,将$x=2$代入$y=\frac{11-7x}{3}$,得$y=-1.\therefore \left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$是原方程的一组整数解.
材料三:若关于$x$,$y$的二元一次方程$ax+by=c(a$,$b$,$c$均为整数）有整数解$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}}\\{y={y}_{0}}\end{array}\right.$,则它的所有整数解为$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+\frac{b}{(a,b)}t}\\{y={y}_{0}-\frac{a}{(a,b)}t}\end{array}\right.(t$为整数).
利用以上材料,解决下列问题:
$(1)$求方程$\left(15,20\right)x+\left(4,8\right)y=99$的一组整数解；
$(2)$求方程$\left(15,20\right)x+\left(4,8\right)y=99$有几组正整数解.