$(1)$如图①,已知:$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,直线$m$经过点$A$,$BD\bot m$于$D$,$CE\bot m$于$E$,求证:$DE=BD+CE$；
$(2)$拓展:如图②,将（1）中的条件改为:$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$D$、$A$、$E$三点都在直线$m$上,并且$\angle BDA=\angle AEC=\angle BAC=\alpha$,$\alpha$为任意锐角或钝角,请问结论$DE=BD+CE$是否成立?如成立,请证明；若不成立,请说明理由；
$(3)$应用:如图③,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC$是钝角,$AB=AC$,$\angle BAD \gt \angle CAE$,$\angle BDA=\angle AEC=\angle BAC$,直线$m$与$BC$的延长线交于点$F$,若$BC=2CF$,$\triangle ABC$的面积是$12$,求$\triangle ABD$与$\triangle CEF$的面积之和.