如图①,四边形$ABCD$是正方形,$G$是$CD$边上的一个动点（点$G$与$C$、$D$不重合）,以$CG$为一边在正方形$ABCD$外作正方形$CEFG$,连接$BG$、$DE$.
$(1)$如图①,线段$BG$和线段$DE$的数量关系是______；位置关系是______；
$(2)$将图①中的正方形$CEFG$绕点$C$顺时针方向旋转任意角度,如图②,$BG$分别交$CD$、$DE$于点$H$、$O$,请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立,并说明理由；
$(3)$已知$AB=5$,$CE=2\sqrt{2}$,当正方形$CEFG$旋转到如图③所示的位置,即点$D$、$E$、$G$在同一条直线上时,直接写出此时$DG$的长度.