【问题情境】
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法,如图$1$,$OP$平分$\angle MON$.点$A$为$OM$上一点,过点$A$作$AC\bot OP$,垂足为$C$,延长$AC$交$ON$于点$B$,可根据______证明$\triangle AOC$≌$\triangle BOC,$则$AO=BO$,$AC=BC($即点$C$为$AB$的中点).
【类比解答】
如图$2$,在$\triangle ABC$中,$CD$平分$\angle ACB$,$AE\bot CD$于$E$,若$\angle EAC=63^{\circ}$,$\angle B=37^{\circ}$,通过上述构造全等的办法,可求得$\angle DAE=\_\_\_\_\_\_.$
【拓展延伸】
$(1)$如图$3$,$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,$CD$平分$\angle ACB$,$BE\bot CD$,垂足$E$在$CD$的延长线上,试探究$BE$和$CD$的数量关系,并证明你的结论.

$(2)$如图$4$,$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,点$D$在线段$BC$上,$∠EDB=\frac{1}{2}∠C$,$BE\bot DE$,垂足为$E$,$DE$与$AB$相交于点$F$.线段$BE$与$FD$的数量关系为______$.(直接写出)$