在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=mx^{2}+\left(m-3\right)x-3\left(m \gt 0\right)$与$x$轴交于$A$、$B$两点（点$A$在点$B$左侧）,与$y$轴交于点$C$,$AB=4$,点$D$为抛物线的顶点.
$(1)$求点$A$和顶点$D$的坐标；
$(2)$将点$D$向左平移$4$个单位长度,得到点$E$,求直线$BE$的表达式；
$(3)$若抛物线$y=ax^{2}-6$与线段$DE$恰有一个公共点,结合函数图象,求$a$的取值范围.