在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线$y=x^{2}-2mx+m^{2}-2$.
$(1)$求抛物线的顶点坐标（用含$m$的式子表示）；
$(2)$已知点$P\left(3,2\right)$.
①当抛物线过点$P$时,求$m$的值；
②点$Q$的坐标为$\left(m,1\right)$.若抛物线与线段$PQ$恰有一个公共点,结合函数图象,直接写出$m$的取值范围.