如图,$\odot O$是等边三角形$BCD$的外接圆,$A$是劣弧$BC$上的动点（不与$B$、$C$重合),连接$AB$,$AD$和$AC$,$\angle ABC$的平分线相交$AD$于点$I$,$BC=10$.下列判断正确的有（ ）
①$DI=10$；②$AB+AC$的最大值为$\frac{20\sqrt{3}}{3}$；③四边形$ABDC$面积的最大值$\frac{200\sqrt{3}}{3}$；④若点$A$在劣弧$BC$上由$B$运动到$C$,则动点$I$的运动路径长为$\frac{10}{3}π$.