在平面直角坐标系$xOy$中,对于没有公共点的两个图形$M$、$N$给出如下定义:$P$为图形$M$上任意一点,$Q$为图形$N$上任意一点,若$P$、$Q$两点间距离的最大值和最小值分别为$d_{1}$和$d_{2}$,则称比值$\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}$为图形$M$和图形$N$的"距离关联值",记为$k\left(M,N\right)$.
已知▱$ABCD$顶点坐标为$A\left(-1,1\right)$,$B(-\sqrt{3},-1)$,$C\left(1,-1\right)$,$D(\sqrt{3},1)$.
$(1)$若$E$为▱$ABCD$边上任意一点,则$OE$的最大值为______$,$最小值为______$,$因此$k($点$O$,▱$ABCD)=$______；
$(2)$若$F(x_{1}$,$m)$为▱$ABCD$对角线$BD$上一点,$G(x_{2}$,$m)$为▱$ABCD$对角线$AC$上一点,其中$x_{1}\neq x_{2}$.
①若$m=\frac{1}{2}$,则$k($线段$FG$,▱$ABCD)=$______；
②若$6\leqslant k($线段$FG$,▱$ABCD) \lt 8$,求$m$的取值范围；
$(3)$若▱$HIJK$的对角线交点为$O$,且顶点$H\left(p,n\right)$在直线$AC$上,顶点$K\left(q,n\right)$在直线$BD$上,其中$p \lt q$,请直接用含$n$的代数式表示$k($▱$HIJK$,▱$ABCD)$.