如图,在平面直角坐标系中,直线$l_{1}$:$y=kx+b$过点$B\left(0,4\right)$,与$x$轴相交于点$A$,与直线$l_2:y=\frac{3}{2}x$相交于点$C$,点$C$的横坐标为$2$,点$M$为$x$轴上一动点,横坐标为$m$.
$(1)$求直线$l_{1}$的表达式；
$(2)$过$M$作$y$轴的平行线,分别交直线$l_{1}$,直线$l_{2}$于点$D$,$E$,连接$DE$,
①当$m=3$时,求$DE$的长；②当$DE=6$时,请直接写出$m$的值；