如图,抛物线$y=ax^{2}+bx\left(a\neq 0\right)$交$x$轴正半轴于点$A$,直线$y=2x$经过抛物线的顶点$M$.已知该抛物线的对称轴为直线$x=2$,交$x$轴于点$B$.
$(1)$求$M$点的坐标及$a$,$b$的值；
$(2)P$是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接$OP$,$BP$.设点$P$的横坐标为$m$,$\triangle OBP$的面积为$S$,当$m$为多少时,$s=\frac{7}{4}$.