如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$经过$\left(2,0\right)$,对称轴为直线$x=-1$.有如下结论:①$abc \gt 0$；②$8a+c=0$；③对于任意实数$m$,总有$a(m^{2}-1)+b\left(m+1\right)\leqslant 0$；④对于$a$的每一个确定的值,若一元二次方程$ax^{2}+bx+c=P(P$为常数,且$P \gt 0)$的根为整数,则满足条件的$P$的值有且只有三个.其中正确的结论有（ ）