如图$1$,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle B=90^{\circ}$,$BC=2AB=8$,点$D$、$E$分别是边$BC$、$AC$的中点,连接$DE$,将$\triangle EDC$绕点$C$按顺时针方向旋转,记旋转角为$\alpha$.
$(1)$问题发现
①当$\alpha =0^{\circ}$时,$\frac{AE}{BD}=$______；
②当$\alpha =180^{\circ}$时,$\frac{AE}{BD}=\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$拓展探究
试判断:当$0^{\circ}\leqslant \alpha\ \ \lt 360^{\circ}$时,$\frac{AE}{BD}$的大小有无变化?请仅就图$2$的情形给出证明.
$(3)$问题解决
当$\triangle EDC$旋转至$A$,$D$,$E$三点共线时,直接写出线段$BD$的长.