勾股定理的证明方法丰富多样,其中我国古代数学家赵爽利用"弦图"的证明简明、直观,是世界公认最巧妙的方法."赵爽弦图"已成为我国古代数学成就的一个重要标志,千百年来倍受人们的喜爱.小亮在如图所示的"赵爽弦图"中,连接$EG$,$DG$.若正方形$ABCD$与$EFGH$的边长之比为$\sqrt{5}$:$1$,则$\sin \angle DGE$等于（ ）