在直角坐标系中,过原点$O$及点$A\left(8,0\right)$,$C\left(0,6\right)$作矩形$OABC$、连接$OB$,点$D$为$OB$的中点,点$E$是线段$AB$上的动点,连接$DE$,作$DF\bot DE$,交$OA$于点$F$,连接$EF$.已知点$E$从$A$点出发,以每秒$1$个单位长度的速度在线段$AB$上移动,设移动时间为$t$秒.

$(1)$如图$1$,当$t=3$时,求$DF$的长.
$(2)$如图$2$,当点$E$在线段$AB$上移动的过程中,$\angle DEF$的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由；如果不变,请求出$\tan \angle DEF$的值.
$(3)$连接$AD$,当$AD$将$\triangle DEF$分成的两部分的面积之比为$1:2$时,求相应的$t$的值.