【课本再现】
$(1)$如图$1$,$\angle CAE$是$\triangle ABC$的外角,$AD$平分$\angle CAE,AD$∥$BC,$则$AB\_\_\_\_\_\_AC.($填"$\gt$""$=$"或"$\lt ")$
【类比迁移】
$(2)$如图$2$,在$\triangle ABC$中,$AD$是$\triangle ABC$的一条角平分线,过点$D$作$DE$∥$AB$交$AC$于点$E$,求证:$AE=DE$.
【拓展运用】
$(3)$如图$3$,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$O$是$\triangle ABC$角平分线$AD$上一点,连接$OB$,$OC$,点$M$是射线$BO$上一点,且$BO=OM$,点$N$是$AC$上一点,连接$MN$.若$MN=CN$,猜想$MN$与$AB$的位置关系,并证明.