在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=\alpha$,$D$点是边$AB$上一点,$E$为边$AC$上一点,连接$CD$,$DE$.
$(1)$如图$1$,$\alpha =60^{\circ}$,点$D$为$AB$中点,$AB=8$,$DE\bot AC$,直接写出$EC$的长；
$(2)$如图$2$,$\alpha =60^{\circ}$,$AB=3BD$,$DE\bot AC$,连接$BE$交$CD$于点$F$,延长$FE$至$P$,使得$PF=CF$,连接$AP$,
①依题意补全图形；
②用等式表示线段$AP$,$BP$,$CF$之间的数量关系,并证明.
$(3)$如图$3$,点$E$为定点,$\angle CBE=\beta$,连接$BE$,点$M$为线段$BE$上的一个动点,且满足$BM=AD$,当$AM+CD$取得最小值时,直接写出$\angle BDC$的值（用$\alpha$和$\beta$表示).