如图,已知抛物线$y=x^{2}+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$.抛物线与$x$轴相交于$A$,$B$两点,点$A$在点$B$的左侧,点$C\left(0,-3\right)$为抛物线与$y$轴的交点.
$(1)$求$b$和$c$的值；
$(2)$在抛物线的对称轴上存在一点$P$,使$PB+PC$最短,请求出点$P$的坐标.
$(3)$抛物线上是否存在一点$Q$,使$\triangle QOA$的面积等于$\triangle BOC$的面积的$4$倍?若存在.求出点$Q$所有的坐标；若不存在,请说明理由.