如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^{2}-4x+c\left(a\neq 0\right)$与$x$轴分别交于点$A\left(1,0\right)$、点$B\left(3,0\right)$,与$y$轴交于点$C$,连接$BC$,点$P$在线段$BC$上,设点$P$的横坐标为$m$.
$(1)$求直线$BC$的解析式；
$(2)$如果以$P$为顶点的新抛物线经过原点,且与$x$轴的另一个交点为$D$,若$\triangle PAB$是以$PA$为腰的等腰三角形,求新抛物线的解析式.