阅读下列材料,完成文后任务:
清朝皇帝康熙的数学专著中,有一文《积求勾股法》中记载了三边长为$3$,$4$,$5$的整数倍的三角形,如果已知面积,求三边长的方法,把这种方法翻译成我们今天的数学语言是:如果三角形的三边长分别是$3$,$4$,$5$的整数倍,设它的面积为$S$,则第一步:求$\frac{S}{6}$,设等于$m$；第二步:求$\sqrt{m}$,设等于$k$；第三步:分别用$3$,$4$,$5$乘以$k$得三边长分别为$3k$,$4k$,$5k$.
任务:
$(1)$求当面积为$96$时,用康熙的"积求勾股法"求三角形的三边长.
$(2)$你能证明康熙这种"积求勾股法"的正确性吗?请写出你的理由.