小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水头$P$距地面$0.7m$,水柱在距喷水头$P$水平距离$5m$处达到最高,最高点距地面$3.2m$；建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为$y=a\left(x-h\right)^{2}+k$,其中$x\left(m\right)$是水柱距喷水头的水平距离,$y\left(m\right)$是水柱距地面的高度.
$(1)$求抛物线的表达式.
$(2)$爸爸站在水柱正下方,且距喷水头$P$水平距离$3m$.身高$1.6m$的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.