如图,在平面直角坐标系中,直线$l_{1}$:$y=-\frac{1}{2}x+4$分别与$x$轴、$y$轴交于点$B$、$C$,且与直线$l_{2}$:$y=\frac{1}{3}x$交于点$A$.
$(1)$分别求出点$A$、$B$、$C$的坐标；
$(2)$若$D$是线段$OA$上的点,且$\triangle COD$的面积为$6$,求直线$CD$的函数表达式；
$(3)$在（2）的条件下,设$P$是射线$CD$上的点,在平面内是否存在点$Q$,使以$O$、$C$、$P$、$Q$为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点$Q$的坐标；若不存在,请说明理由.