如图,在数轴上有$A$,$B$,$M$三点,分别表示有理数$a$,$b$,$m$.其中$a$,$b$,$m$满足$|a+1|+\left(b-2\right)^{2}+|m-3|=0$.已知线段$AB$的中点表示的数可以记作$\frac{a+b}{2}$,$A$、$B$之间的距离为$|a-b|$.

$(1)$求$a$,$b$,$m$的值；
$(2)$数轴上的一动点$N$从$A$出发,以$2$个单位长度$/$秒的速度向右运动,当$N$与$B$的距离为线段$BM$长度的两倍时,求运动时间$t$,以及此时点$N$表示的数；
$(3)$有一动点$P$从表示$-7$的点出发,以$3$个单位长度$/$秒的速度向右运动,动点$Q$从表示$-2$的点出发,以$2$个单位长度$/$秒的速度向右运动.点$P$比点$Q$先出发$1$秒,设点$Q$运动的时间为$t$秒,若线段$PQ$上至少存在一点$T$与点$A$构成线段,当线段$AT$的中点在线段$OB(包含端点)$上,求$t$最大值和最小值.