$(a+6)^{2}+|c-10|=0$,如图$1$,点$B$与点$A$到原点的距离相等,$a$、$b$、$c$分别表示$A$、$B$、$C$三点在数轴上对应的数,如图$2$,我们将数轴在点$O$和点$B$处各弯折一次,使$AO$与$BC$处于水平位置.动点$P$从点$A$出发到点$C$停止,以每秒$2$个单位的速度沿数轴正方向运动,上坡时的速度变为原来的一半,之后恢复原来的速度,动点$Q$从点$C$处出发到点$A$停止,以每秒$1$个单位的速度沿数轴负方向运动,下坡时的速度变为原来的两倍,之后恢复为原来的速度,若$P$、$Q$同时出发,设运动时间为$t$.
$(1)a=$______,$b=$______,$c=$______；
$(2)$当$P$、$Q$两点相遇时,求运动时间$t$的值；
$(3)$在运动过程中,是否存在$t$,使动点$Q$、$B$两点在数轴上相距的长度是$P$、$O$两点在数轴上相距的长度的$1.5$倍,若存在,直接写出$t$的值,若不存在,说明理由.