有这样一道题:关于$x$的多项式$ax+4$与$3x-3$的和的值与字母$x$的取值无关,求$a$的值.通常的解题方法是:两式相加后,把$x$看作字母,$a$看作系数合并同类项,因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x$项的系数为$0$,即$\left(ax+4\right)+\left(3x-3\right)=ax+4+3x-3=\left(a+3\right)x+1$,所以$a+3=0$,则$a=-3$.
【初步尝试】
$(1)$若关于$x$的多项式$2ax-4x+a^{2}$的值与$x$无关,求$a$的值；
【深入探究】
$(2)7$张如图$1$的小长方形,长为$n$,宽为$m$,按照图$2$方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分）,设右上角的面积为$S_{1}$,左下角的面积为$S_{2}$.
①若$AB=10$,$m=2$,$n=6$,求$S_{1}-S_{2}$的值；
②当$AB$的长变化时,$S_{1}-S_{2}$的值始终保持不变,求$m$与$n$的等量关系.