【知识准备】
若数轴上点$A$对应的数为$x$,点$B$对应的数为$y$,$M$为$AB$的中点,则我们有中点公式:点$M$对应的数为$\frac{x+y}{2}$.（1）在一条数轴上,$O$为原点,点$C$对应的数为$c$,点$D$对应的数为$d$,且有$|c+2-d|+\left(c+4\right)^{2}=0$,则$CD$的中点$N$所对应的数为______.
【问题探究】
$(2)$在（1）的条件下,若点$P$从点$C$出发,以每秒$2$个单位长度的速度向左运动,同时点$Q$从点$D$出发,以每秒$3$个单位长度的速度向右运动.设运动时间为$t$秒,$t$为何值时,$PQ$的中点所对应的数为$1$?
【拓展延伸】
$(3)$若数轴上点$A$对应的数为$x$,点$B$对应的数为$y$,$M$为$AB$靠近点$A$的三等分点,则我们有三等分点公式:点$M$对应的数为$\frac{2x+y}{3}$；若数轴上点$A$的对应数为$x$,点$B$的对应数为$y$,$M$为$AB$最靠近点$A$的四等分点,则我们有四等分点公式:点$M$对应的数为$\frac{3x+y}{4}$.
①填空:若数轴上点$A$的对应数为$x$,点$B$的对应数为$y$,$M$为$AB$最靠近点$B$的$n$等分点,则我们有$n$等分点公式:点$M$对应的数为______(其中$n$为正整数）；
②在（2）的条件下,若$E$是$PQ$中点,$F$为$DQ$最靠近$Q$的三等分点,则是否存在$t$,使得$4OE+OF$为定值?若存在,请求出$t$的取值范围和此时的定值.