在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化．
材料一：我们知道$|a|$的几何意义是：数轴上表示数$a$的点到原点的距离；$|a-b|$的几何意义是：数轴上表示数$a$，$b$的两点之间的距离；$|a+b|$的几何意义是：数轴上表示数$a$，$-b$的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解．
$(1)|x-3|=4$
解：由绝对值的几何意义知：
在数轴上$x$表示的点到$3$的距离等于$4$
$∴x _{1} =3+4=7$，$x _{2} =3-4=-1$
$(2)|x+2|=5$
解：$∵|x+2|=|x-(-2)|$，$∴$其绝对值的几何意义为：在数轴上$x$表示的点到$-2$的距离等于$5.∴x _{1} =-2+5=3$，$x _{2} =-2-5=-7$
材料二：如何求$|x-1|+|x+2|$的最小值．
由$|x-1|+|x+2|$的几何意义是数轴上表示数$x$的点到表示数$1$和$-2$两点的距离的和，要使和最小，则表示数$x$的这点必在$-2$和$1$之间$($包括这两个端点$)$取值．
$∴|x-1|+|x+2|$的最小值是$3$；由此可求解方程$|x-1|+|x+2|=4$，把数轴上表示$x$的点记为点$P$，由绝对值的几何意义知：当$-2\leqslant x\leqslant 1$时，$|x-1|+|x+2|$恒有最小值$3$，所以要使$|x-1|+|x+2|=4$成立，则点$P$必在$-2$的左边或$1$的右边，且到表示数$-2$或$1$的点的距离均为$0.5$个单位．
故方程$|x-1|+|x+2|=4$的解为：$x _{1} =-2-0.5=-2.5$，$x _{2} =1+0.5=1.5$．
阅读以上材料，解决以下问题：
$(1)$填空：$|x-3|+|x+2|$的最小值为______；
$(2)$已知有理数$x$满足：$|x+3|+|x-10|=15$，有理数$y$使得$|y-3|+|y+2|+|y-5|$的值最小，求$x-y$的值．
$(3)$试找到符合条件的$x$，使$|x-1|+|x-2|+…+|x-n|$的值最小，并求出此时的最小值及$x$的取值范围．