已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$的图象经过三点$A(x_{1}$,$y_{1})$,$B(x_{2}$,$y_{2})$,$C\left(-3,0\right)$,且对称轴为直线$x=-1$.有以下结论:①$a+b+c=0$；②$2c+3b=0$；③当$-2 \lt x_{1} \lt -1$,$0 \lt x_{2} \lt 1$时,有$y_{1} \lt y_{2}$；④对于任何实数$k \gt 0$,关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=k\left(x+1\right)$必有两个不相等的实数根.其中结论正确的有（ ）