已知:在正方形$ABCD$中,$M$在$AB$上,点$N$在$CD$上,把正方形$ABCD$沿$MN$翻折,使点$B$落在边$AD$上的点$E$处,点$C$的对应点为$P$,$EP$交$CD$于$F$.
$(1)$连$BE$,求证:$BE$平分$\angle AEF$；
$(2)$过点$B$作$BG$∥$EM$交$MN$于点$G$,连结$BF$交$MN$与点$H$.
①求证:$\angle BHM=45^{\circ}$；
②若$\frac{PF}{AE}=\frac{2}{5}$,求$\frac{NH}{MG}$的值.