我们在八年级上册曾经探索:把一个直立的火柴盒放倒（如图$1)$,通过对梯形$ABCD$面积的不同方法计算,来验证勾股定理.$a$、$b$、$c$分别是$Rt\triangle ABE$和$Rt\triangle CDE$的边长,易知$AD=\sqrt{2}c$,这时我们把关于$x$的形如$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$的一元二次方程称为"勾氏方程".
请解决下列问题:
$(1)$方程$x^{2}+2x+1=0 \_\_\_\_\_\_(填"是"或"不是")$"勾氏方程"；
$(2)$求证:关于$x$的"勾氏方程"$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$必有实数根；
$(3)$如图$2$,$\odot O$的半径为$10$,$AB$、$CD$是位于圆心$O$异侧的两条平行弦,$AB=2m$,$CD=2n$,$m\neq n$.若关于$x$的方程$m{x}^{2}+10\sqrt{2}x+n=0$是"勾氏方程",连接$OD$,$OB$,求$\angle BOD$的度数.