如图，两个边长分别为$a$、$b$、$c$的直角三角形和一个两条直角边都是$c$的直角三角形拼成了一个梯形．用不同的方法计算梯形的面积，可以得到一个等式：$a ^{2} +b ^{2} =c ^{2}$．
$(1)$请用两种方法计算梯形的面积，并写出得到等式$a ^{2} +b ^{2} =c ^{2}$的过程．
$(2)$如果满足等式$a ^{2} +b ^{2} =c ^{2}$的$a$、$b$、$c$是三个正整数，我们称$a$，$b$，$c$为勾股数．已知$m$、$n$是正整数且$m > n$，证明$2mn$、$m ^{2} -n ^{2}$、$m ^{2} +n ^{2}$是勾股数．