已知抛物线$y=-x^{2}-4ax-12a\left(a \lt 0\right)$与$x$轴交于$A$,$B$两点（点$A$在点$B$左边),与$y$轴交于点$C$.若点$D\left(4,12\right)$在抛物线上.
$(1)$求抛物线的解析式及点$A$的坐标；
$(2)$连接$AD$,若点$P$是直线$AD$上方的抛物线上一点,连接$PA$,$PD$.当$\triangle PAD$面积最大时求点$P$的坐标及$\triangle PAD$面积的最大值.