如图,直线$l_{1}$过点$A\left(0,2\right)$、$B\left(2,0\right)$,直线$l_{1}$和直线$l_{2}$交于点$C\left(3,a\right)$,直线$l_{2}$与$y$轴交于点$D\left(0,-7\right)$.
$(1)$求直线$l_{1}$和直线$l_{2}$对应的函数解析式；
$(2)$直线$l_{1}$上有一动点$P$,使得$\triangle CDP$的面积为$12$,求点$P$的坐标；
$(3)y$轴上有一动点$M$,直线$l_{2}$上有一动点$N$,使以$M$、$N$、$A$、$B$为顶点的四边形是平行四边形,求出点$M$的坐标.
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