如图，四边形$ACDE$是证明勾股定理时用到的一个图形，$a$，$b$，$c$是全等的${\rm Rt}\triangle ABC$和${\rm Rt}\triangle BED$的边长，易知$AE=\sqrt{2}c$，这时我们把关于$x$的形如$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”$.$请解决下列问题：

$(1)$求证：关于$x$的“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$必有实数根；

$(2)$若$x=-1$是“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx+b=0$的一个根，且四边形$ACDE$的周长是$12$，求$\triangle ABC$的面积.