已知抛物线与$x$轴交于点$A\left(-2,0\right)$、$B\left(3,0\right)$,与$y$轴交于点$C\left(0,4\right)$.
$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$如图$1$,点$P$是抛物线上位于第一象限内的一点,请连接$BC$,求出$\triangle BPC$的面积最大值及此时点$P$的坐标；
$(3)$如图$2$,将抛物线向右平移$\frac{1}{2}$个单位,再向下平移$2$个单位.记平移后的抛物线为${y\’}$,若抛物线${y\’}$与原抛物线对称轴交于点$Q$.点$E$是新抛物线${y\’}$对称轴上一动点,在（2）的条件下,当$\triangle PQE$是等腰三角形时,求点$E$的坐标.